ORIGEM DOS
NÚMEROS NEGATIVOS
O número é um conceito fundamental em
Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e
formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se
nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem,
por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o
desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao
aparecimento do conceito de número Natural.
Todas as nações que desenvolveram
formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um
sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número
prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os
números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses
estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os
números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a
ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos
indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo
para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de
Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se
pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas
através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac
+bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas
sobre números negativos e positivos.
sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente
com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios
em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para
o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2
3x -18 = 5x^2
Nestas situações Diofanto limitava-se
a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos
europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos
seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto
seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos
como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os
números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a
partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos
números positivos e negativos como sendo segmentos de direções
opostas.
Demonstração da regra dos sinais
(segundo Euler)
Euler, um virtuoso do cálculo como se
constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os
números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas
construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais.
Consideremos os seus argumentos:
1- A multiplicação de uma dívida por um
número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a escudos é uma
dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.
2- Por comutatividade, Euler deduziu que
(-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar qual o produto de (-a)
por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então
necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como
única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
É claro que este tipo de argumentação vem
demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar
satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue
provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de
argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para
justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de Euler podemos
verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade
que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não
compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que
zero.
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